Jak najít objem krychle, když známe její plochu

Objem krychle – jeden ze základních geometrických pojmů, který může být užitečný při řešení různých matematických problémů. Pokud máte informace o celkový povrch krychle, pak můžete vypočítat jeho objem pomocí několika jednoduchých vzorců a technik.

V tomto článku se podíváme na způsoby výpočtu objemu krychle na základě její plochy. Podrobně si projdeme základní kroky výpočtů a uvedeme příklady, abyste lépe pochopili, jak tyto vzorce aplikovat v praxi.

Před výpočtem objemu krychle Musíte pochopit, jaký je povrch krychle. Povrch krychle je obvykle součtem ploch všech jejích stran. Pro vzorec pro výpočet objemu krychle potřebujeme celkový povrch. Pokud již povrch krychle znáte, můžete přejít k dalším krokům.

Jak najít objem krychle na základě její plochy

Naučte se vzorec pro nalezení objemu krychle

Pro nalezení objemu krychle musíte použít jednoduchý vzorec:

Objem krychle = délka hrany^3, kde délka hrany je jedna ze stran krychle.

Použití vzorce, když je dán obsah krychle:

1. Vypočítejte délku hrany krychle pomocí vzorce: délka hrany = druhá odmocnina z plochy.

2. Vynásobte výslednou délku hrany krychlí, abyste zjistili objem krychle.

Například, pokud je obsah krychle 64 čtverečních jednotek, zjistíme délku hrany krychle: délka hrany = √64 = 8. Poté získanou délku hrany umocníme na krychli: objem krychle = 8^3 = 512 krychlových jednotek.

Naučení se vzorce pro nalezení objemu krychle vám pomůže snadno vypočítat objem dané plochy a tyto informace použít v různých úkolech a projektech.

Připravte si data předem

Než začnete s výpočtem, musíte mít po ruce všechna potřebná data. V případě výpočtu objemu krychle na základě její plochy budete potřebovat znát plochu jedné z jejích stěn.

Určete, v jakých jednotkách měření je uvedena plocha stěny krychle. Může se jednat o centimetry čtvereční (cm²), metry čtvereční (m²), stopy čtvereční (ft²) nebo jinou jednotku měření.

Ujistěte se, že jste si správně zapsali plochu krychle. Je snadné udělat překlep, zejména při práci s velkými čísly. Několikrát si to zkontrolujte a ujistěte se, že poskytnuté údaje jsou přesné a správné.

Mějte na paměti, že pokud je plocha krychle uvedena v nestandardních jednotkách, může být nutné provést další převody, abyste získali výsledek ve standardních jednotkách.

Změřte plochu základny krychle

Pro měření plochy základny krychle budete potřebovat:

Krok	účinek
1	Vyberte si jednu stranu krychle, kterou budete měřit. Označme ji délkou a.
2	Pomocí pravítka nebo krejčovského metru změřte délku zvolené strany krychle. Zapište si tuto hodnotu.
3	Hodnotu, kterou jste získali v předchozím kroku, umocněte na druhou. To znamená, že ji vynásobte samou sebou. Výsledek, který dostaneme, označíme jako 2 .
4	Plocha základny krychle se rovná hodnotě 2 .

Nyní jste připraveni vypočítat objem krychle s využitím dříve změřené plochy její podstavy. Pokračujte ve čtení další části a dozvíte se, jak na to.

Proveďte potřebné výpočty

Abyste mohli zjistit objem krychle na základě jejího povrchu, musíte vzít v úvahu, že všechny strany krychle jsou si rovny. To znamená, že pokud je znám povrch jedné ze stran, pak bude povrch všech ostatních stran roven tomuto povrchu.

Chcete-li zjistit délku strany krychle na základě jejího obsahu, musíte extrahovat druhou odmocninu z daného obsahu. Například, pokud je obsah jedné strany 16 centimetrů čtverečních, pak délka strany bude rovna druhé odmocnině ze 16, tj. 4 centimetrům.

Protože všechny strany krychle jsou si rovny, stačí k nalezení objemu krychle umocnit délku jedné ze stran na krychli. To znamená, že v našem příkladu bude objem krychle roven 4 krychlovým, což se rovná 64 krychlovým centimetrům.

Plocha jedné strany (cm^2)	Délka strany (cm)	Objem krychle (cm^3)
16	4	64

Zkontrolujte správnost získaného výsledku

Při výpočtu objemu krychle na základě její plochy je důležité zkontrolovat přesnost výsledku. To pomůže zajistit, že jste ve výpočtech neudělali žádné chyby.

Pro ověření správnosti výsledku se vám může hodit tabulka, která ukazuje počáteční hodnoty plochy a objemu krychle a také vypočítané hodnoty pro ověření.

Plocha krychle (S)	Objem krychle (V)
10	1000
20	8000
30	27000
40	64000
50	125000

Vypočítejte objem krychle ručně pro několik hodnot plochy a porovnejte výsledky s vypočítanými hodnotami v tabulce. Pokud se získané hodnoty shodují s tabulkou, můžete si být jisti, že váš výpočet je správný.

Pokud se hodnoty neshodují, zkontrolujte si výpočty a ujistěte se, že jste při provádění matematických operací nebo při použití vzorce pro výpočet objemu krychle neudělali žádné chyby.

Je třeba také poznamenat, že výpočet objemu krychle na základě její plochy je přibližná metoda, takže výsledky se mohou mírně lišit od přesné hodnoty. Pokud jsou však rozdíly příliš významné, je vhodné výpočty zopakovat a znovu zkontrolovat všechny kroky.

Zvažte příklady výpočtů

Příklad 1:

Předpokládejme, že máme krychli se stranou rovnou 5 cm. Pro výpočet jejího objemu použijeme vzorec:

V = a^3, kde a — délka strany krychle.

Dosaďme známé hodnoty:

Odpověď: objem krychle je 125 cm³.

Příklad 2:

Řekněme, že máme krychli se stranou rovnou 8 m. Pro výpočet jejího objemu použijeme vzorec:

V = a^3, kde a — délka strany krychle.

Dosaďme známé hodnoty:

Odpověď: objem krychle je 512 m³.

Příklad 3:

Předpokládejme, že máme krychli se stranou rovnou 10 dm. Pro výpočet jejího objemu použijeme vzorec:

V = a^3, kde a — délka strany krychle.

Dosaďme známé hodnoty:

V = 10^3 = 1000 dm³.

Odpověď: objem krychle je 1000 dm³.

Příklad 4:

Řekněme, že máme krychli se stranou rovnou 2.5 mm. Pro výpočet jejího objemu použijeme vzorec:

V = a^3, kde a — délka strany krychle.

Dosaďme známé hodnoty:

V = 2.5^3 = 15.625 mm³.

Odpověď: objem krychle je 15.625 mm³.

Příklad 5:

Předpokládejme, že máme krychli se stranou rovnou 12 cm. Pro výpočet jejího objemu použijeme vzorec:

V = a^3, kde a — délka strany krychle.

Dosaďme známé hodnoty:

V = 12^3 = 1728 cm³.

Odpověď: objem krychle je 1728 cm³.

Uvědomte si aplikaci tohoto vzorce v každodenním životě

Znalost vzorce pro výpočet objemu krychle může být užitečná v mnoha situacích každodenního života. Koneckonců, krychlové jednotky měření se široce používají v různých oblastech, jako je stavebnictví, design, chemie atd.

Například pokud plánujete instalaci krychlového akvária nebo zahradního jezírka, znalost objemu vám pomůže správně naplánovat rozměry a množství materiálů, aby vše dokonale pasovalo.

Vzorec pro výpočet objemu krychle se také může hodit při nákupu a výpočtu objemu různých kapalin nebo plynů. Potřebujete znát objem benzínu pro naplnění palivové nádrže automobilu nebo objem kyslíku v dýchací lahvi.

I v interiérovém designu a výrobě nábytku pomáhá znalost objemu určit, kolik místa nový kus nábytku v místnosti zabere a jak se bude vztahovat k ostatním prvkům.

Znalost vzorce pro výpočet objemu krychle vám tedy nejen pomůže v každodenním životě, ale také vám umožní efektivněji plánovat a využívat vaše zdroje.

Cube (hexahedron) je trojrozměrný útvar, který se skládá ze šesti identických čtverců tak, že každý čtverec se plně dotýká čtyř stran ostatních čtyř čtverců v pravém úhlu. Krychle je pravidelný mnohostěn, který okraje vytvořený ze čtverců. Krychle může být také nazývána obdélníkovým rovnoběžnostěnem, u kterého jsou všechny hrany stejné.

Definice Hrana krychle — je část roviny omezená stranami čtverce.
– krychle má šest stran;

– každá stěna krychle se protíná se čtyřmi dalšími stěnami v pravém úhlu a je rovnoběžná s šestou stěnou;

— plochy mají stejnou plochu, kterou lze zjistit pomocí vzorců pro výpočet plochy čtverce.

Definice Hrana kostky — je úsečka tvořená průnikem dvou stěn krychle.
– krychle má dvanáct hran;
– každý konec žebra je spojen se dvěma sousedními žebry v pravém úhlu;
— hrany krychle mají stejnou délku.

Definice Vrchol krychle — toto je bod nejvzdálenější od středu krychle, který leží v průsečíku tří stran krychle.

– krychle má osm vrcholů;
– každý vrchol je tvořen pouze třemi plochami a třemi hranami.
Definice Střed plochy krychle (O₁) je bod stejně vzdálený od všech hran stěny krychle.
Definice Střed krychle (O) je bod stejně vzdálený od všech stran krychle.

Definice Osa krychle (i) je přímka procházející středem krychle a středy dvou rovnoběžných stěn krychle.

– krychle má tři osy;
— osy krychle jsou na sebe kolmé.

Definice Úhlopříčka krychle (d ₁) je úsečka, která spojuje protilehlé vrcholy krychle a prochází středem krychle.

– krychle má čtyři úhlopříčky;
— úhlopříčky krychle se protínají a dělí se na polovinu ve středu krychle;
— úhlopříčky krychle mají stejnou délku.
Vzorec. Úhlopříčka krychle d ₁ po délce hrany a:

Definice Úhlopříčka krychlové stěny (d ₂) je úsečka, která spojuje protilehlé rohy stěny krychle a prochází středem stěny krychle.

Vzorec. Úhlopříčka hrany d ₂ po délce hrany a:
Definice Objem krychle — je množina všech bodů v prostoru ohraničeném stěnami krychle.
Vzorec. Objem krychle podél hrany a:
Vzorec. Objem krychle procházející délkou úhlopříčky krychle d ₁:

V =	d 1 3
	3√ 3

Definice Povrchová plocha krychle — je množina rovin všech ploch.
Vzorec. Povrchová plocha krychle po délce hrany a:
Definice Obvod krychle — je součet délek všech hran krychle.
Vzorec. Obvod krychle P podél hrany a:

Definice Koule vepsaná do krychle se nazývá koule, jejíž střed se shoduje se středem krychle a která se dotýká středů stěn krychle.

— všech šest stěn krychle jsou tečné roviny k vepsané kouli;
— poloměr vepsané koule se rovná polovině délky hrany a.
Vzorec. Poloměr vepsané koule r podél délky hrany a:
Vzorec. Objem vepsané koule V podél délky hrany a:

V =	π a 3
	6

Definice Koule opsaná kolem krychle se nazývá koule, jejíž střed se shoduje se středem krychle a která se dotýká osmi vrcholů krychle.

— poloměr opsané koule se rovná polovině délky úhlopříčky (d) ₁) krychle.
Vzorec. Poloměr opsané koule R podél délky hrany a:
Vzorec. Objem koule opsané kolem krychle V podél délky hrany a:

V =	πα3 √3
	2

Vlastnosti krychle

1. Do krychle lze vepsat čtyřstěn tak, aby všechny čtyři vrcholy čtyřstěnu ležely na čtyřech vrcholech krychle a všech šest hran čtyřstěnu leželo na šesti stěnách krychle a hrany se rovna úhlopříčce stěny krychle.

2. Do krychle lze vepsat pravidelný šestiúhelník tak, aby všech šest vrcholů leželo ve středech stěn krychle.

Souřadnice vrcholů krychle

1. Souřadnice vrcholů krychle se stranou a a vrcholem D v počátku kartézského souřadnicového systému tak, aby hrany tohoto vrcholu ležely na souřadnicových osách:

A(a, 0, 0), B(a, a, 0), C(0, a, 0), D(0, 0, 0),
E(a, 0, a), F(a, a, a), G(0, a, a), H(0, 0, a).

2. Souřadnice vrcholů krychle o délce strany 2 a , ve které se střed krychle nachází v počátku kartézského souřadnicového systému tak, že hrany krychle jsou rovnoběžné se souřadnicovými osami:

A(a, —a, —a), B(a, a, —a), C(-a, a, —a), D(-a, —a, —a),
E(a, —a, a), F(a, a, a), G(-a, a, a), H(-a, —a, a).

Definice Jednotka Krychle je krychle, jejíž hrany mají délku rovnou jedné.

Průsečík krychle s rovinou

1. Pokud protnete krychli rovinou procházející středem krychle a středy dvou protilehlých stěn, pak bude průřez čtvercem, jehož délka strany bude rovna délce hrany krychle. Tato rovina rozděluje krychli na dva stejné obdélníkové rovnoběžnostěny.

2. Pokud protneme krychli s hranou a rovinou procházející středem krychle a dvěma rovnoběžnými hranami, pak bude průřez obdélník se stranami a a a √ 2 a plochou průřezu a 2 √ 2. Tato rovina rozděluje krychli na dva stejné hranoly.

3. Pokud protnete krychli rovinou procházející středem a středy šesti stěn, pak průřez bude pravidelný šestiúhelník se stranou a √ 2/2 a plochou průřezu a 2 (3√ 3)/4. V krychli je jedna z úhlopříček (ÚÚ) každé stěny, která se protíná, kolmá na stranu šestiúhelníku.

4. Pokud krychli protíná rovina procházející třemi vrcholy krychle, pak průřez bude pravidelný trojúhelník se stranou √ 2, plochou průřezu 2 √ 3/2 a objemem větší části 5 a 3/6 a menší části 3/6. Jedna z úhlopříček krychle (EC) je kolmá k rovině průřezu a prochází středem trojúhelníku (M) a je dělena rovinou v poměru MC:EM = 2:1.