Axonometrické projekce | Deskriptivní geometrie

V mnoha případech je při výrobě technických výkresů nutné mít kromě obrázků objektů v systému ortogonální projekce více vizuálních obrázků. Ke konstrukci takových obrazů se používají projekce tzv axonometrická nebo ve zkratce axonometrie. Název „axonometrie“ je odvozen ze slov starověkého řeckého jazyka: axon — osa a metro — měřím.

Metoda axonometrické projekce spočívá v tom, že daný obrazec se spolu s osami pravoúhlých souřadnic, ke kterým se tato soustava bodů v prostoru vztahuje, promítne rovnoběžně na určitou rovinu. 1). V důsledku toho je axonometrické promítání především promítáním pouze do jedné roviny a nikoli do dvou nebo více, jak je tomu v systému kolmých projekcí. V tomto případě je nutné zajistit přehlednost snímků a možnost určit polohy a velikosti, jak je popsáno níže.

Na obr. 449 je schéma průmětu bodu A na určitou plochu. α, brané jako rovina axonometrické projekce (také nazývaný obrázkové letadlo). Směr projekce je označen šipkou 2).

Čáry Ox, Оу, Oz zobrazují souřadnicové osy v prostoru, čáry O_αx, O_αU, O_αz — jejich projekce na náměstí. _αvolala axonometrické osy (nebo osy axonometrických souřadnic).

1) Axonometrie může být také centrální; Zde je uvažována paralelní axonometrie.

2) Směr projekce může svírat ostrý nebo pravý úhel s rovinou axonometrických projekcí. Aby byla zajištěna čistota snímků, směr promítání by neměl být rovnoběžný s žádnou ze souřadnicových rovin.

Na osách x, y, z je vykreslen určitý segment délky l, braný jako měrná jednotka podél těchto os (přírodní jednotka). Segmenty l_xl_yl_z, na axonometrických osách představují průměty segmentu l; vůbec se nerovnají l a nejsou si rovny. Segmenty l_xl_yl_z jsou jednotky měření podél axonometrických os – axonometrické jednotky 1).

Vztahy l_x l, l_y l, l_z Jsem volán koeficienty zkreslení (nebo indexy zkreslení) podél axonometrických os.

Koeficient zkreslení osy O_αx je označeno k, podél osy O_αOznačíme m na ose y a n na ose Oαz.

Tříčlánková prostorová čára OA_хA’A byla promítnuta do ploché přerušované čáry O_αА_хαА’_αА_α (obr. 449). Bod A_α – axonometrická projekce body A; bod A‘_α je axonometrický průmět bodu A‘, který je jedním z pravoúhlých průmětů bodu A, a to na pl. π₁ (хОу). bod A‘_α volal sekundární projekce bodu A 2). Je možné sestrojit další dva vedlejší průměty bodu A, odpovídající jeho dvěma dalším kolmým průmětům – na roviny π₂— (xOz) a π₃ (yOz).

Vztahy mezi axonometrickými průměty úseček přímek rovnoběžných s pravoúhlými souřadnicovými osami a samotnými úsečkami jsou vyjádřeny koeficienty k, m, n.

Jelikož (viz obr. 449) A’A_Х||Оу a А’А||Oz, pak s rovnoběžnými projekcemi A‘_αА_хα||O_αy a A‘_αА_α||O_αz. Při paralelním promítání je zachován poměr rovnoběžných segmentů; proto A‘_αА_xα: l_y = A’A_Х:l nebo A‘_αА_хα: A’A_x =l_y:l = m, kde m je koeficient zkreslení podél osy O_αy Podobné závěry lze učinit ohledně segmentů umístěných rovnoběžně s osami x a z: poměry průmětů takových segmentů k segmentům samotným jsou rovné (respektive) koeficientům zkreslení k a n.

Takže mezi axonometrickou projekcí A_αВ_α segment AB, rovnoběžný s osou x (obr. 450), a segment samotný, poměr je roven A_αВ_α: AB = k.

Každý ze segmentů čáry OA_хA’A (obr. 449) definuje jednu z pravoúhlých souřadnic bodu A; průměty těchto segmentů jsou segmenty ploché přerušované čáry O_αА_хαА’_αА_α — jsou stanoveny podle toho axonometrické souřadnice stejný bod A. Je zřejmé, že pomocí koeficientů zkreslení lze přejít od pravoúhlých souřadnic k axonometrickým a naopak: x_α= kx, y_α = mu, z_α = nz, kde písmena x_αA_α, s_a Segmenty, které určují axonometrické souřadnice bodu, jsou označeny písmeny x, y, z a segmenty, které určují jeho pravoúhlé souřadnice.

Na obr. 451 je uveden příklad konstrukce axonometrického průmětu bodu na základě jeho pravoúhlých průmětů.

Bod A_α vytvořené pomocí segmentů souřadnic převzatých z výkresu: x = OA_х, y = A_xA‘, z = A_xA“. Vezmeme-li v úvahu koeficienty zkreslení k, ma n, vykreslíme podél osy 0_αx segment O_αА_Хα = k·OA_х, pak rovnoběžně s osou O_αv segmentu A_xαА’_α= m A_xA‘ a nakonec rovnoběžné s osou O_αz segment A‘_αА_α = n·A_xA“.

1) Používají se také názvy „axonometrické stupnice“ a podle toho také „přirozené měřítko“.

2) Termín používaný V. I. Kurdyumovem ve svém díle „Kurz deskriptivní geometrie“.

Rovina β (obr. 452) je znázorněna ve stopách a v axonometrické projekci. Pro konstrukci tras se vezmou body jejich průsečíku s osami podél segmentů na osách (například bod X_Páni postavený podél segmentu OX_β:O_αX_Páni = k·OX_β).

Bod A, ležící ve čtverci. β, sestrojený v axonometrické projekci podle jeho souřadnic; horizontální N_αA_α musí být rovnoběžné s jeho sekundárním průmětem a trasovat se v rovině xO_αy Bod A_α mohl by být také konstruován jako průsečík dvou přímek v oblasti. β, sestrojením axonometrických průmětů těchto čar.

Na stejném Obr. 452 znázorňuje rovinu čelního průmětu a k ní přináležející bod B v axonometrickém průmětu_α. Jak určit pravoúhlé souřadnice tohoto bodu? Konstrukce je na obr. 452 vpravo: v axonometrickém průmětu je nakreslena vodorovná čára N_αB_α a sestrojí se jeho sekundární průmět, na kterém se získá sekundární průmět B‘_β Požadované souřadnice bodu B:

kde k, m, n jsou koeficienty zkreslení.

Při konstrukci axonometrických projekcí se obvykle nepoužívá samotné koeficienty zkreslení, ale některé hodnoty jim úměrné. Tyto veličiny budeme nazývat dané 1) koeficienty zkreslení.

Vzhledem k daným koeficientům můžeme vzít největší z nich rovný jedné, což zjednodušuje konstrukce.

Pokud na náměstí. α vezměte čtyři body O náhodně_α, A_α, B_α a C_α, z nichž žádné tři neleží na stejné čáře a spojte je do dvojic rovnými čarami, pak dostanete obrazec zvaný úplný čtyřúhelník (O_αA_αB_αC_α); Jedná se o čtyřúhelník se svými úhlopříčkami (obr. 453, a). Pokud dále těmito body vedeme rovnoběžné přímky a na každém z nich vezmeme libovolný bod O, A, B a C tak, aby neležely všechny ve stejné rovině, pak v prostoru vznikne určitý čtyřstěn OABC 2. Je zřejmé, že v prostoru existují čtyřstěny, jejichž rovnoběžnou projekcí může být úplný čtyřúhelník O_αA_αB_αC_α, může jich být nekonečné číslo. Mezi nimi je čtyřstěn s pravým triedrickým úhlem v bodě O a se stejnými okraji OA, OB, OC; takový čtyřstěn lze považovat za ve velkém měřítku 3), tj. tři stejné a vzájemně kolmé hrany tohoto čtyřstěnu slouží jako měřítka souřadnicových os v prostoru (obr. 453, c). Toto je obsah hlavní návrh axonometrie (nebo „základní věta axonometrie“), uvedená v následující formulaci: jakýkoli úplný čtyřúhelník na rovině je vždy rovnoběžná projekce nějakého měřítkového čtyřstěnu. Jakékoli tři přímky procházející jedním bodem v rovině, které se vzájemně neshodují, lze tedy považovat za axonometrické osy, tj. za průměty os pravoúhlých souřadnic, a jakékoli tři segmenty položené na těchto přímkách z bodu jejich průsečíku lze brát v souladu se zvoleným poměrem redukovaných koeficientů zkreslení jako axonometrické jednotky 4).

1) Název „snížený“ ve vztahu ke koeficientům (ukazatelům) zkreslení použili N. F. Chetverukhin a E. A. Glazunov ve své práci „Axonometrie“ (Moskva: Gostekhizdat, 1953).

2) Čtyřstěn – v tomto případě trojúhelníkový jehlan libovolného tvaru.

3) Termín „šupinový čtyřstěn“ použil N. F. Chetverukhin.

4) „Základní tvrzení axonometrie“ formuloval K. Polke (v roce 1851) ve formě následující věty: jakékoli tři segmenty vycházející z jednoho bodu v rovině lze brát jako rovnoběžné projekce tří stejných a vzájemně kolmých segmentů v prostoru. V šedesátých letech minulého století G. Schwartz zobecnil Polkeho teorém a dokázal, že jakýkoli úplný čtyřúhelník na rovině lze vždy považovat za rovnoběžný průmět čtyřstěnu podobného jakémukoli danému. Zájemce o důkaz odkazujeme na knihu E. A. Glazunova a N. F. Chetverukhina, uvedenou v poznámce pod čarou 1), nebo na knihu N. A. Glagoleva „Deskriptivní geometrie“ (Moskva: Gostekhizdat, 1953).

Pokud jsou všechny tři koeficienty zkreslení navzájem shodné (k = m = m), pak se axonometrické promítání nazývá izometrický; pokud jsou si navzájem rovny pouze dva koeficienty zkreslení (například k = n, ale m se nerovná k, nebo k = m, ale n se nerovná k), pak se projekce nazývá dimetrický; nakonec, pokud k≠m, k≠n, m≠n , pak se projekce nazývá trimetrický 1).

Pokud směr promítání není kolmý na rovinu α, nazývá se axonometrické promítání šikmý. Jinak se nazývá axonometrické promítání obdélníkový.

Pro srovnání si představme kouli v pravoúhlých a šikmých axonometrických projekcích. V prvním případě jsou generátory válcové projekční plochy obklopující kouli kolmé k rovině axonometrických projekcí; a protože vyčnívající válec je rotační válec pravoúhlý axonometrický průmět koule je kruh.

V případě šikmého promítání vzniká průsečíkem promítací plochy s rovinou axonometrických průmětů elipsa; v šikmé axonometrické projekci ztrácí obraz koule svou jasnost.

V praxi konstrukce vizuálních obrazů se obvykle používají pouze určité specifické kombinace směrů axonometrických os a koeficientů zkreslení (nebo snížených koeficientů zkreslení).

Pravoúhlé axonometrické projekce. Koeficienty zkreslení a úhly mezi osami

1. Rovinu axonometrických průmětů vezměme tak, že protíná všechny tři souřadnicové osy (obr. 454 vlevo) v bodech X, Y, Z. Podrobněji

Konstrukce pravoúhlého axonometrického průmětu kružnice

1. Začneme obecným problémem – sestrojit pravoúhlý axonometrický průmět kružnice ležící v určité rovině obecné polohy β. Další podrobnosti

Příklady konstrukcí v izometrickém a dimetrickém zobrazení

Níže jsou uvedeny některé příklady konstrukcí v pravoúhlých izometrických a dimetrických projekcích.Více

Některé šikmé axonometrické projekce

Ze šikmých axonometrických průmětů se zaměříme především na často používané promítání získané na rovinu rovnoběžnou s rovinou. π2.Další podrobnosti

O příbuzenské korespondenci a její aplikaci při řešení některých problémů

Uvažujme související shodu obrazců umístěných ve dvou protínajících se rovinách nebo v jedné rovině v rovnoběžném promítacím systému.Více

Standardní axonometrické projekce

V inženýrské praxi, zejména ve strojírenství, jsou nejpoužívanější pravoúhlé dimetrické a izometrické projekce. Všimněme si některých vlastností těchto projekcí. Více podrobností

Příklady konstrukce axonometrických průmětů geometrických útvarů

Při konstrukci axonometrických projekcí je nepohodlné používat koeficienty zkreslení. Více podrobností

Řešení polohových úloh na axonometrických projekcích

Řešení polohových úloh na axonometrickém výkresu se neliší od řešení těchto úloh v ortogonálních projekcích na Mongeův diagram.Více

Řešení metrických úloh na axonometrických projekcích

Mezi ortogonálním a axonometrickým promítáním existuje vztah, který umožňuje sestrojit trojúhelník stop na základě kolmých průmětů geometrického útvaru a daného směru axonometrické projekce, a naopak určit směr axonometrické projekce na základě daného průmětu trojúhelníku stop.Více

Axonometrie umožňuje inženýrům, designérům a architektům vizuálně ukázat své nápady. Axonometrické projekce se používají všude – od nákresů dílů až po počítačové hry. Pojďme zjistit, co je axonometrie a jak ji aplikovat.

Pojem axonometrie

Axonometrie je metoda promítání, při které je objekt zobrazen v rovině při zachování jeho proporcí.

Axonometrické promítání (ze starořeckého ἄξων „osa“ + μετρέω „měřím“) je metoda zobrazení geometrických objektů na výkresu pomocí rovnoběžných projekcí.

Axonometrie byla poprvé použita v 15. století renesančními umělci. To jim umožnilo vytvořit ve svých obrazech iluzi hloubky a objemu. Později začali axonometrické projekce používat inženýři a architekti.

Existují tři hlavní typy axonometrie:

• Izometrie
• Demetria
• trimetrie

Liší se poměrem měřítek podél různých souřadnicových os.

Pravidla pro konstrukci axonometrických projekcí

Pro konstrukci axonometrie se používá projekční zařízení, které zahrnuje:

• položka;
• systém souřadnicových os;
• promítací rovina;
• směr projekce.

V tomto případě se segmenty souřadnic promítají do roviny v deformovaném měřítku. Pro určení koeficientů zkreslení se používá vzorec:

u 2 + v 2 + w 2 = 2 + postýlka 2 φ

kde u, v, w jsou koeficienty zkreslení; φ je úhel mezi směrem promítání a rovinou promítání.

Typy axonometrických projekcí

Existují dva hlavní typy axonometrických projekcí:

Liší se směrem promítání vzhledem k rovině.

Izometrické promítání

V izometrickém promítání mají všechny tři souřadnicové osy stejný sklon vzhledem k rovině. To zajišťuje stejné zkreslení ve všech směrech.

Izometrie se často používá v technických výkresech, architektonické grafice, počítačových hrách a dalších oborech.

Výhody izometrie:	Nevýhody izometrie:
– jednoduchost a přehlednost;	– nelze určit přesné rozměry.
— nejsou zapotřebí žádné další projekce.	— je obtížné zobrazit zakřivené povrchy.

Izometrie má tedy výhody i nevýhody. Tato metoda musí být zvolena s ohledem na konkrétní úkoly.

Dimetrická projekce

V dimetrii mají dvě osy stejný sklon a třetí je jiná. To vede k různým deformacím v různých směrech.

Existuje několik druhů dimetrie:

• obdélníkový průměr;
• šikmá dimetrie;
• frontální dimetrie.

Liší se umístěním promítací roviny a souřadnicových os.

Dimetrie se často používá ve strojírenství, protože umožňuje přesnější určení rozměrů součásti ve srovnání s izometrií.

Obdélníková dimetrie

Obdélníková dimetrie je jedním z nejběžnějších typů axonometrických projekcí. V tomto případě je promítací rovina kolmá k jedné ze souřadnicových os.

Pro konstrukci pravoúhlého rozměru se používá následující uspořádání os:

• Osa X je nakloněna pod úhlem 7°10′
• Osa Y – pod úhlem 41°25′

Díky tomuto uspořádání os odpovídají rozměry objektu podél os X a Z skutečným. A podél osy Y je 2násobný pokles.

Konstrukce axonometrie součásti

Aby bylo možné nakreslit axonometrii součásti, je nutné:

1. Analyzujte tvar součásti
2. Vyberte vhodný typ axonometrické projekce
3. Konstrukce základních geometrických tvarů (kruhy, mnohoúhelníky)
4. Nakreslete neviditelné a viditelné čáry součásti

Existuje několik základních způsobů, jak nakreslit axonometrii:

• Z viditelného okraje objektu
• Z neviditelných čar
• Kombinovaná metoda

Konstrukce kružnice v axonometrii

Při promítání na rovinu se kružnice promění v elipsu. V tomto případě je hlavní osa elipsy umístěna kolmo k ose, která neleží v rovině kružnice.

Pokud je například kružnice v rovině XOY, pak hlavní osa elipsy bude kolmá na osu Z.

Aplikace axonometrie

Axonometrie je široce používána v různých oblastech:

• Strojírenství a výroba nástrojů
• Stavebnictví a architektura
• Vzhled interiéru
• Vývoj počítačových her
• Vytváření návodů a návodů

Axonometrie umožňuje díky své přehlednosti efektivní řešení mnoha praktických problémů v průmyslu i umění.

Konstrukce axonometrie v programech

Moderní designové programy umožňují rychle a přesně konstruovat axonometrické obrazy.

Například KOMPAS 3D má režimy pro standardní typy axonometrie. Jednoduše vyberte požadovaný typ promítání a program automaticky vytvoří axonometrii modelu.

Axonometrii lze také budovat v takových populárních 3D editorech, jako jsou:

Tyto programy poskytují pohodlné nástroje pro vytváření trojrozměrných modelů a jejich projekcí.

Chyby začátečníků při konstrukci axonometrie

Časté chyby při konstrukci axonometrických projekcí:

• Nesprávná volba typu axonometrie
• Chyby při určování koeficientů zkreslení
• Nesprávná poloha souřadnicových os
• Nevysvětlené zkreslení geometrických obrazců (kruhy, elipsy)

Abyste se jim vyhnuli, musíte si dobře nastudovat teorii a pravidla konstrukce axonometrie.

Axonometrie v počítačových hrách

Mnoho počítačových her používá axonometrickou grafiku. Je to dáno jeho jednoduchostí, praktičností a estetikou.

Pozoruhodným příkladem axonometrie ve hrách je žánr strategií v reálném čase (RTS). Zde je třicetistupňový úhel perfektní pro sledování velkých herních lokací.