Výpočet kritických otáček rotoru se zohledněním gyroskopického momentu
Uvažujme výpočtové schéma rotoru, kdy na výchylku hřídele působí kromě odstředivé síly také gyroskopický moment (obr. 3.12).
Rýže. 3.12. Schéma výpočtu rotoru
Z principu nezávislosti působení sil na pružné systémy, pro průhyb hřídele у, od působení odstředivých sil a úhlu natočení od gyroskopického momentu МГ můžeme zapsat
kde je výchylka a úhel rotace od jednotkové síly je výchylka a úhel rotace od jednotkového momentu
Odstředivá síla setrvačnosti disku a gyroskopický moment jsou určeny pomocí dříve odvozených vzorců
Dosazením rovnic (3.60) a (3.61) do závislosti (3.59) získáme
Řešením rovnice (3.62) je výchylka a úhel natočení
Když je jmenovatel výrazů (3.63) roven nule, výchylka a úhel natočení se neomezeně zvětšují, proto se rychlost odpovídající této podmínce nazývá kritická a je určena závislostí
Jednotkové posuny a úhly rotace se nazývají koeficienty vlivu a jsou určeny pomocí Mohrových integrálů
kde jsou ohybové momenty v úsecích hřídele z jednotkové síly =1 a jednotkového ohybového momentu =1.
V praxi se integrály (3.65) řeší numerickými metodami, rozdělením hřídele po jeho délce na konečné úseky a nahrazením infinitezimálních veličin konečnými a integrací se součtem.
Pro rotory s hřídelemi konstantního průřezu a jedním diskem, dvěma klasickými schématy zástavby v podpěrách a uložením disků lze koeficienty vlivu určit pomocí vzorců uvedených v tabulce 3.1.
Součinitele vlivu momentů a sil Tabulka 3.1
 |  |
3.5. VÝPOČET KRITICKÝCH RYCHLOSTÍ OTÁČENÍ VÍCEDISKOVÝCH ROTORŮ
Uvažujme hřídel s k kotouče náhodně umístěné podél hřídele (obr. 3.13). Hmotnost hřídele může být zohledněna rozdělením hřídele na sekce a přiřazením hmotností sekcí hmotnostem odpovídajících disků.
Označme průhyby hřídele od hmot kotoučů a úseků hřídele v místech kotoučů jako (obr. 3.13).
Obr.3.13. Rotor s více kotouči
Hřídel se otáčí úhlovou rychlostí a působením odstředivé síly se navíc ohýbá. Označme další výchylky při otáčení hřídele v místech kotoučů jako .
Práci odstředivých sil v těchto oblastech označme jako a potenciální energii dodatečné deformace hřídele jako .
Při všech rychlostech otáčení kromě , je rotace hřídele stabilní, protože s jakýmkoli rušivým účinkem se po jejím odstranění objeví dodatečná vratná síla, která vrátí hřídel do původního stavu.
Hodnota kritické rychlosti otáčení vícediskového rotoru se tedy musí určit z podmínky
Potenciální energie zakřiveného hřídele je určena
Práce odstředivých sil a gyroskopických momentů při rychlosti otáčení
Přirovnáním práce odstředivých sil a gyroskopických momentů (3.68) k potenciální energii deformace získáme
Pomocí vzorce (3.70) lze určit kritickou úhlovou rychlost, pokud je osa hřídele nastavena jako zakřivená. Pro určení první kritické rychlosti je zakřivená osa rotoru brána jako zakřivená osa hmoty disků a částí hřídele. V tomto případě bude závislost pro výpočet zapsána jako
Ve výrazu pod kořenem je čitatel zdvojnásobená potenciální energie deformace při ohýbání hřídele hmotností kotoučů a lze ji určit ze závislosti
Dosadíme výrazy (3.72 do vzorce (3.71)
Pokud zanedbáme vliv gyroskopického momentu, pak bude mít podobu závislost (3.73).
Zanedbáme-li vliv gyroskopických momentů na kritické rychlosti otáčení rotorů, ze vzorce (3.70) získáme
Předpokládejme, že zakřivená osa hřídele s několika kotouči je podobná zakřiveným osám s každým kotoučem zvlášť, pak každý z členů ve výrazu (3.75) představuje hodnotu inverzní k druhé mocnině kritické úhlové rychlosti hřídele s jedním kotoučem.
Poté z výrazu (3.75) získáme přibližný vzorec pro výpočet kritických rychlostí otáčení rotorů s několika disky (Dunkerleyův vzorec)
Kritické otáčky vícediskových rotorů lze tedy určit pomocí kritických rychlostí nejjednodušších systémů (obr. 3.14).
Obr.3.14. Výpočtové schéma vícediskového rotoru: 1-závaží hřídel bez
disky; 2,3,4 – beztížná hřídel s jedním diskem
Podle této metody je rotor, sestávající z hřídele uloženého v podpěrách a několika disků umístěných náhodně po délce hřídele, rozdělen na nejjednodušší systémy
– těžká hřídel bez kotoučů;
— beztížný hřídel s disky umístěnými v určité vzdálenosti od podpěr.
Kritická rychlost rotoru se vypočítá pomocí vztahu:
kde je kritická úhlová rychlost rotace komplexního systému; — kritická úhlová rychlost otáčení těžké hřídele bez kotoučů; — kritická úhlová rychlost otáčení beztížného hřídele s jedním diskem.
Kritické rychlosti otáčení těžkého hřídele se vypočítají v závislosti na způsobu instalace v podpěrách pomocí vzorců (3.41)…(3.43).
Pro výpočet kritické rychlosti beztížné hřídele s jedním diskem použijte jednu ze závislostí na obr. 3.9. určí se statická výchylka a kritická rychlost se určí podle vzorce (3.44).
3.6. REDUKCE KOMPLEXNÍCH OHÝBACÍCH SYSTÉMŮ NA EKVIVALENTNÍ
Rotor skutečného motoru s plynovou turbínou je vícenosný a obvykle se skládá z rotorů kompresoru a turbíny spojených pomocí spojky. Rotory kompresorů i turbín jsou komplexní, elastický systém s rozloženými hmotami disků složitého tvaru a tuhostí hřídele, která se mění podél délky.
Pro usnadnění výpočtu kritických rychlostí otáčení složitých rotorů jsou nahrazeny jednoduššími, dynamicky ekvivalentními systémy sestávajícími z pružného beztížného hřídele a disků k nim připojených.
Počet hmot a jejich uspořádání na hřídeli se volí v souladu s uspořádáním hmot ve skutečném rotoru a rozptýlené hmoty hřídele, bubnů a dalších prvků vedou k jedné nebo více hmotám ekvivalentního systému nebo se přidávají k hmotám disků.
Redukované hmotnosti, momenty setrvačnosti těchto hmot a tuhosti částí ekvivalentního systému jsou vybrány z podmínky zajištění, že frekvence a vibrační režimy ekvivalentního systému jsou shodné se skutečným rotorem.
Redukovaná hmotnost ekvivalentního systému je určena z podmínky rovnosti kinetických energií kmitání reálného a ekvivalentního systému. Aniž bychom zacházeli do podrobností o odvození, zapíšeme si výrazy pro výpočet ekvivalentních hmotností nejběžnějších jednoduchých obvodů.
Dvounosná hřídel s kotoučem uprostřed (obr. 3.9,a). Redukovaná hmotnost je určena výrazem
kde a jsou hmotnosti disku a hřídele.
Dvounosná hřídel s kotoučem umístěným v libovolné vzdálenosti x od podpěry (obr. 3.9, b). Jako místo redukce se bere umístění disku. Snížená hmotnost je určena vzorcem
Dvojitá nosná hřídel s diskem umístěným v konzolové poloze (obr. 3.9, в). Umístění disku se také bere jako hmotnostní referenční bod. Snížená koncentrovaná hmotnost se vypočte:
kde х – aktuální souřadnice podél délky hřídele; — vzdálenost mezi podpěrami hřídele.
Hmotnost hřídele vícediskového rotoru se přičte k hmotnosti jednoho z kotoučů, nebo je-li hmotnost hřídele výrazně menší než hmotnost rotoru, je zanedbaná.
Stanovení redukovaných momentů setrvačnosti. Kompresorové a turbínové kotouče s přírubami, přírubami a dalšími konstrukčními prvky mají složitý tvar. Hmotnostní moment setrvačnosti složitých prostorových obrazců je definován jako součet momentů setrvačnosti nejjednodušších rotačních těles, na která je disk rozdělen. Závislosti pro určení momentů setrvačnosti a hmotností nejjednodušších rotačních těles jsou uvedeny v tabulce 3.2.
Momenty setrvačnosti nejjednodušších těles Tabulka 3.2
Stanoví se celkový polární moment setrvačnosti disku složitého prostorového tvaru, sestávajícího z jednoduchých rotačních těles
Rovníkový moment setrvačnosti prvku disku vzhledem k jeho průměru procházejícímu těžištěm prvku je roven
Rovníkový moment setrvačnosti celého disku vůči průměru procházejícímu těžištěm disku je určen vztahem
kde je hmotnost prvku; – vzdálenost od těžiště tohoto prvku k těžišti disku nebo zmenšené hmotnosti disku.
Při umístění pracovních lopatek na kotouč se zjišťuje i redukovaný moment setrvačnosti.
Polární moment setrvačnosti množiny z lopatky, hmotnost — , s těžištěm umístěným ve vzdálenosti od osy otáčení je určena
Rovníkový moment setrvačnosti sady lopatek vůči průměru procházejícímu těžištěm disku je roven
kde je vzdálenost od těžiště lopatky nastavená k těžišti disku nebo zmenšená hmotnost disku podél osy otáčení rotoru.
Pro celý rotor máme
kde je počet sad lopatek, jejichž momenty setrvačnosti jsou redukovány na daný disk nebo redukovanou hmotnost disků.
Rotory motoru s plynovou turbínou tak mohou při rotaci pod vlivem nevyvážených hmot na určitých frekvencích ztratit stabilitu. V tomto případě se amplitudy kmitů prudce zvyšují, takže provoz rotorů v těchto režimech je nepřijatelný. Uvedené závislosti nám umožňují provádět výpočty pro určení kritických otáček skutečných rotorů a přiřadit motorům bezpečné ustálené provozní režimy.
3.7. Kontrolní otázky
1. Vyjmenujte faktory, které způsobují vibrace rotoru.
2. Jaká je kritická rychlost rotoru?
3. Definujte tuhost systému.
4. Jaký je rozdíl mezi dynamickou a statickou tuhostí?
5. Proč je nutné při výpočtu kritických otáček uvažovat o složitých systémech rotorových skříní?
6. Vyjmenujte faktory, které ovlivňují kritické rychlosti otáčení rotoru.
7. Proč je nepřijatelné, aby rotory pracovaly při kritických otáčkách?
8. Metody boje proti nebezpečným vibracím rotorů motoru.
9. Jak vypočítat kritické otáčky vícekotoučového rotoru.
10. Vysvětlete vliv gyroskopického momentu na kritické otáčky rotorů.