Honeycomb / Články – Matematická složka

Voštinové plástve odedávna vzbuzují lidský obdiv k symetrii a kráse jejich architektury. Kupodivu byla optimalita struktur vytvořených včelami matematicky podložena až v průběhu minulého století. Ve skutečnosti včely stavitele používají vosk, který produkují, ke konstrukci buněk ve formě válců (spíše než šestihranných hranolů). Včela se pohybuje od základny buňky a otáčením tvaruje stěny válce kolem sebe. Průměry buněk jsou téměř stejné, protože dělnice jsou přibližně stejně velké.

Včely kladou základy svých buněk v podobě šestiúhelníkového uspořádání kruhů, které je na rovině husté. Včely to dělaly po staletí, ale matematici dokázali optimálnost tohoto uspořádání až v polovině 8. století. Připomeňme, že podobný problém pro koule v trojrozměrném prostoru (Keplerova hypotéza) byl vyřešen až na konci 24. století a ve XNUMX. století – také v prostorech dimenzí XNUMX a XNUMX. Ale ačkoliv jsou válce naskládané co nejhustěji, zůstávají mezi nimi mezery. Tato nevýhoda mizí bez účasti včel: zatímco vosk je plastický, pod vlivem sil povrchového napětí (jako u mýdlových filmů) mají stěny buněk podobu šestihranných hranolů, které k sobě přiléhají. Vosk pro včely je drahý materiál (ve srovnání s medem), proto je při stavbě plástů nutné volit takovou architekturu, aby spotřeba vosku byla minimální při dělení daného velkého objemu na identické buňky. Ukazuje se, že optimálnost pokládání kruhů na rovině je „zděděna“ šestiúhelníky, do kterých se proměnily: výsledkem je nejekonomičtější varianta z hlediska spotřeby vosku. Matematická formulace úlohy je následující: potřebujeme najít rozdělení velké rovné plochy na prvky malé pevné plochy (velikost včely), pro kterou bude celkový obvod hranic nejmenší. Bez dalších podmínek (například, že prvky jsou konvexní) se problém ukázal jako obtížný. Teprve na počátku XNUMX. století byl problém vyřešen v obecné formulaci: dělení do pravidelných šestiúhelníků se ukázalo jako nejlepší. Pokud ale předpokládáme, že prvky oddílu jsou totožné pravidelné mnohoúhelníky, pak není těžké vysvětlit výhodu šestiúhelníků. Je jasné, že rovinu lze obložit pravidelnými trojúhelníky, čtverci a pravidelnými šestiúhelníky. Ukazuje se, že nejsou žádné jiné možnosti.

Pokud jsou například stejné pětiúhelníky aplikovány na dvě přilehlé strany pravidelného pětiúhelníku, pak roh zůstane „nevyplněný“ poblíž společného vrcholu, který zjevně nelze položit. Z podobných důvodů nebude možné položit rovinu s pravidelnými $n$ ‐úhelníky, pokud $nge 7$ : každý má vrcholový úhel větší než $120°$ (úhel v pravidelném šestiúhelníku), „nevyplněný“ vnější úhel na společném vrcholu dvou $n $ -gonů je příliš malý – třetí se již nevejde.

Zbývá porovnat tři uvedené příčky podle velikosti celkového obvodu hranic. Jednoduché výpočty ukazují, že v řetězci prvků o stejné ploše „trojúhelník – čtverec – šestiúhelník“ se jejich obvody monotónně zmenšují. Chcete-li zjistit celkový obvod hranic oddílů, musíte sečíst obvody prvků a vydělit součet 2, protože ve „vnitřní“ části budou segmenty hranic stranami dvou sousedních polygonů. To znamená, že nejlepší rozdělení je na pravidelné šestiúhelníky. Šestihranně uložené šestihranné hranolové buňky tak tvoří vrstvu, v jejíž konstrukci je použito minimální množství vosku. Všechny buňky vrstvy mají společné ploché dno a vstupy jsou na jedné straně. Včely v přírodě staví dvě vrstvy najednou se společným dnem. Posunem vrstev vůči sobě se ploché dno každého hranolu promění v trojúhelníkový výstupek, objem buněk se zvětší a obě vrstvy jsou pevně spojeny.

Architektura včelího městského domu se vyznačuje dvěma důležitými vlastnostmi: optimálními náklady na vosk a vysokou pevností.

Knižní šíření

Dodatky, komentáře

Šestiúhelníkové uspořádání kruhů na rovině je nejhustší. Včely to „vědí“; tyto znalosti mohou být vtěleny do hádanky, jejíž úkol se zdá být nemožný. Na obdélníkovém poli, omezeném nízkým rámem, je blízko sebe umístěno 40 stejných kruhů (podložek), jejichž středy tvoří čtvercovou mřížku. Ukázalo se, že můžete změnit uspořádání kruhů tak, aby se do rámu vešlo 41 kruhů!

Hrnky mohou být vyříznuty z lepenky nebo můžete použít hotové možnosti – mince, knoflíky atd. Pole a rám mohou být vyrobeny z překližky, listu plastu, dokonce i silné lepenky. Nejprve je třeba určit velikost pole odpovídající čtverci kruhů $5krát 8$ a poté nalepit na obdélníkový rám. (Pole $5krát 8$ je nejmenší obdélníkové pole, do kterého je možné „zhutnit“ a umístit další kruh.)

Literatura

Feyesh Tot L. Umístění v rovině, na kouli a v prostoru. – M.: GIFML, 1958. Weil G. Symetrie. – M.: Nauka, 1968. – [Str. 107-110].