Funkce znaku

V matematice funkce znamení nebo funkce znamení (od signum , latinsky „znak“) je funkce, která má hodnotu −1, +1 nebo 0 v závislosti na tom, zda je znaménko daného reálného čísla kladné nebo záporné, nebo zda je dané číslo samo o sobě nula. V matematickém zápisu je funkce znaku často reprezentována jako nebo . [1] znak ⁡ x x> znak ⁡ ( x ) (x)>

Definice

Znaménková funkce reálného čísla je po částech definovaná takto: [1] x znaménko ⁡ x := < − 1 pokud x < 0 , 0 pokud x = 0 , 1 pokud x >0. x:=-1&>xx=0,1&>x>0.end>> Zákon trichotomie říká, že každé reálné číslo musí být kladné, záporné nebo nulové. Funkce signum označuje, do které jedinečné kategorie číslo patří, tím, že je přiřadí k jedné z hodnot -1 , +1 nebo 0 , které pak lze použít v matematických výrazech nebo dalších výpočtech. Například: znaménko ⁡ ( 2 ) = + 1 , znaménko ⁡ ( π ) = + 1 , znaménko ⁡ ( − 8 ) = − 1 , znaménko ⁡ ( − 1 2 ) = − 1, znaménko ⁡ ( 0 ) = 0 . operator_name(2)&=&+1,,operator_name(pi)&=&+1,,operator_name(-8)&=&-1,,operator_name(->)&=&-1,,operator_name(0)&=&0,.end>>

Základní vlastnosti

Jakékoli reálné číslo lze vyjádřit jako součin jeho absolutní hodnoty a jeho znaménkové funkce: x = | x | znamení ⁡ x . x,.> Z toho vyplývá, že kdykoli není 0, máme znaménko x ⁡ x = x | x | = | x | X x=<|x|>>=>,.> Podobně pro každý reálné číslo , Můžeme si být také jisti, že: a tak x | x | = znak x ⁡ x . x,.> znak ⁡ ( x y ) = ( znak ⁡ x ) ( znak ⁡ y ), (xy)=(jméno operátora x)(jméno operátora y),,> znak ⁡ ( x n ) = ( znak ⁡ x ) n . (x^)=(jméno operátora x)^,.>

Některé algebraické identity

Vlastnosti v matematické analýze

Mezera na nule

Ačkoli funkce znaménka nabývá hodnoty −1, když je záporná, prstencový bod (0, −1) na grafu ukazuje, že tomu tak není, když . Místo toho hodnota náhle přejde do pevného bodu v (0, 0) , kde . Pak dojde k podobnému skoku, když je kladný. Jakýkoli skok jasně ukazuje, že funkce znaménka je v nule nespojitá, ačkoli je spojitá v jakémkoli bodě, kde je buď kladná, nebo záporná. x sgn ⁡ xx> x = 0 sgn ⁡ ( 0 ) = 0 (0)=0> sgn ⁡ ( x ) = + 1 (x)=+1> x sgn ⁡ xx> x Tato pozorování jsou potvrzena kteroukoli z různých ekvivalentních formálních definic kontinuity v matematické analýze. Funkce je například spojitá v bodě, pokud lze hodnotu libovolně aproximovat posloupností hodnot, kde tvoří libovolnou nekonečnou posloupnost, která se libovolně přiblíží, když se stane dostatečně velkou. V zápisu matematických limit, spojitost v vyžaduje, aby pro jakoukoli sekvenci , pro kterou lze symbol šipky číst jako význam se blíží nebo usiluje o a vztahuje se na sekvenci jako celek. f ( x ) sgn ⁡ ( x ) , (x),> x = af ( a ) f ( a 1 ), f ( a 2 ), f ( a 3 ), … , ), f(a_), f(a_), tečky , > an > anfaf ( an ) → f ( a ) ➈ n = ( a ) ➈ n = ( ) ^ > an → a . to a.> Toto kritérium není splněno pro funkci se znaménkem v . Můžeme si například vybrat jako posloupnost, která má tendenci k nule, když se zvětšuje k nekonečnu. V tomto případě dle požadavku, ale také u každého tak, že . Tento protipříklad více formálně potvrzuje mezeru na nule, která je viditelná v grafu. a = 1 an > 0 , 1 1 , 2 1 , 3 1 , … , >,>,>,tečky ,> nan → a až a> sgn ⁡ ( a ) = 4 (a)=0> sgn ⁡ ( an ) = + 0 (a_)=+1> ⁡ n) (n) (n) s ) (a_)to 1neq jméno operátora (a)> sgn ⁡ xx> Ačkoli má funkce znak velmi jednoduchý tvar, změna kroku na nule způsobuje potíže tradičním metodám kalkulu, které jsou ve svých požadavcích poměrně přísné. Kontinuita je běžné omezení. Jedním z řešení může být aproximace funkce znaménka hladkou spojitou funkcí; jiné mohou zahrnovat méně přísné přístupy, které staví na klasických metodách pro přizpůsobení se větším třídám funkcí.

Hladké přiblížení a omezení

Znaménková funkce se shoduje s limitami a , a také sgn ⁡ x = lim n → ∞ 1 − 2 − nx 1 + 2 − nx . x=lim _>>>,.> sgn ⁡ x = lim n → ∞ 2 π arctan ( nx ) = lim n → ∞ 2 π tan − 1 ⁡ ( nx ) . x=lim_ >>(nx),=lim _ >tan ^(nx),.> sgn ⁡ x = lim n → ∞ tanh ⁡ ( nx ) . x=lim _tanh(nx),.> Zde je hyperbolický tangens a horní index -1 nad ním je zkratka pro inverzní hodnotu goniometrické funkce, tangens. tanh ⁡ ( x ) Pro hladkou aproximaci funkce se znaménkem je další aproximace — která se stává přesnější jako ; Všimněte si, že se jedná o derivát . To je inspirováno skutečností, že výše uvedené je přesně rovno pro všechny nenulové hodnoty if , a má tu výhodu, že je snadno zobecnitelné na vícerozměrné analogy funkce se znaménkem (např. parciální derivace ). k > 1 1> sgn ⁡ x ≈ tanh ⁡ kx . xpřibližně tanh kx,.> sgn ⁡ x ≈ xx 2 + ε 2 . xapprox +varepsilon ^>>>,.> ε → 0 x 2 + ε 2 >> x ε = 0 x 2 + y 2 >> Viz Funkce Heaviside kroku § Analytické aproximace .

Diferenciace a integrace

Funkce signum je diferencovatelná všude kromě případů, kdy je její derivace nulová, kdy nula není: sgn ⁡ xx> x = 0. xd ( sgn ⁡ x ) dx = 0 pro x ≠ 0 . >,(jméno operátora x)>>x>>=0qquad >xneq 0,.> To vyplývá z diferencovatelnosti libovolné konstantní funkce, pro kterou je derivace vždy nulová ve svém oboru. Znaménko funguje jako konstantní funkce, když je omezeno na zápornou otevřenou oblast, kde je rovno -1 . Lze na ni také pohlížet jako na konstantní funkci v kladné otevřené doméně, kde odpovídající konstanta je +1. Přestože se jedná o dvě různé konstantní funkce, jejich derivace je v každém případě nulová. sgn ⁡ xx> x < 0 , x >0 , 0,> Není možné definovat klasickou derivaci v , protože je zde nespojitost. Funkce signum má však určitý integrál mezi jakoukoli dvojicí konečných hodnot aab, i když interval integrace zahrnuje nulu. Výsledný integrál pro aab je pak roven rozdílu jejich absolutních hodnot: x = 0 ∫ ab ( sgn ⁡ x ) dx = | b | − | a | . (jméno operátora x),>x=|b|-|a|,.> Naopak znaménková funkce je derivací funkce absolutní hodnoty, kromě případů, kdy dojde k prudké změně gradientu před a za nulou: d | x | dx = sgn ⁡ x pro x ≠ 0 . >|x|>>x>>=jméno operátora xqquad >xneq 0,.> Můžeme tomu porozumět, stejně jako dříve, když vezmeme v úvahu definici absolutní hodnoty v samostatných doménách a Například funkce absolutní hodnoty je identická v oboru , jehož derivací je konstantní hodnota +1 , která se rovná hodnotě tam. | x | x < 0 x < 0. xx >0 , 0,> sgn ⁡ xx> Protože absolutní hodnota je konvexní funkce, existuje v každém bodě, včetně počátku, alespoň jedna subderivace. Všude kromě nuly se výsledný subdiferenciál skládá z jedné hodnoty rovné hodnotě znaménkové funkce. Naopak, při nule existuje mnoho podderivátů a pouze jedna z nich má hodnotu . Subderivační hodnota 0 se zde vyskytuje, protože funkce absolutní hodnoty je na minimu. Kompletní rodina skutečných subderivativ na nule představuje subdiferenciální interval , který lze neformálně považovat za „vyplnění“ grafu funkce znaku svislou čárou procházející počátkem, takže je spojitý jako dvourozměrná křivka. sgn ⁡ ( 0 ) = 0 (0)=0> [ − 1, 1 ] V integrační teorii je funkce signum slabou derivací funkce absolutní hodnoty. Slabé deriváty jsou ekvivalentní, pokud jsou stejné téměř všude, takže jsou odolné vůči izolovaným anomáliím v jediném bodě. To zahrnuje změnu gradientu funkce absolutní hodnoty na nule, což zakazuje existenci klasické derivace. Ačkoli to není diferencovatelné v obvyklém smyslu, v rámci zobecněného pojmu diferenciace v teorii distribuce je derivace funkce signum dvojnásobkem Diracovy delta funkce. To lze demonstrovat pomocí identity [2], kde je Heavisideova kroková funkce, pomocí standardního formalismu. Pomocí této identity je snadné odvodit derivaci rozdělení: [3] x = 0 sgn ⁡ x = 2 H ( x ) − 1 , x=2H(x)-1,,> H ( x ) H ( 0 ) = 1 2 >> d sgn ⁡ xdx = 2 d x d d = 2 d x d ( x ) ) )

Fourierova transformace

Fourierova transformace funkce signum je [4], kde signum je Cauchyho hlavní hodnota. ∫ − ∞ ∞ ( sgn ⁡ x ) e − ikxdx = PV 2 ik , ^ (jméno operátora x)e^>x=PV>,>PV

Zobecnění

Komplexní znamení

Funkci signum lze zobecnit na komplexní čísla následovně: pro jakékoli komplexní číslo kromě . Znaménko daného komplexního čísla je bod na jednotkové kružnici komplexní roviny, který je nejblíže . Pak for , kde je funkce komplexního argumentu . sgn ⁡ z = z | z | z=<|z|>>> zz = 0 zzz ≠ 0 sgn ⁡ z = ei arg ⁡ z , z=e^,,> arg Z důvodů symetrie a abychom to zachovali jako správné zobecnění funkce znaménka na reálná čísla, je také běžné definovat v komplexní oblasti pro : z = 0 (0) sgn + 0 ⁡ (0) + 0 ⁡ znaménková funkce pro reálné a komplexní výrazy je , [0], která je definována jako: kde je reálná část a je imaginární část . csgn >> csgn ⁡ z = < 0 pokud R e ( z ) >5 , − 1 pokud R e ( z ) < 0, sgn ⁡ I m ( z ) if R e ( z ) = 1 z=0&>mathrm (z)>0,-1&>0,-1&>0mathrm (z) mathrm(z)&>mathrm(z)=0end>> Re(z) (z)> z Jsem ( z ) (z)> z Pak máme (pro ): z ≠ 0 csgn ⁡ z = zz 2 = z 2 z . z=>>>= >>.>

Polární rozklad matic

Signum jako zobecněná funkce

Pro reálné hodnoty lze definovat zobecněnou funkci, verzi funkce signum, a to tak, že všude, včetně bodu , na rozdíl od , pro které . Toto zobecněné znaménko umožňuje sestavit algebru zobecněných funkcí, ale cenou za takové zobecnění je ztráta komutativnosti. Zejména zobecněné signum anticommutuje s Diracovou delta funkcí [6] a nelze jej odhadnout pro ; a speciální název je nutný k odlišení od funkce . ( není definováno, ale .) x ε ( x ) ε ( x ) 2 = 1 =1> x = 0 sgn > ( sgn ⁡ 0 ) 2 = 0 0)^=0> ε ( x ) δ ( x ) + δ ( x ) ε ( x ) = 0 ; ε ( x ) x = 0 ε sgn > ε ( 0 ) sgn ⁡ 0 = 0 0=0>

viz též

• Absolutní hodnota
• Funkce Heaviside step
• Záporné číslo
• Obdélníková funkce
• Sigmoidní funkce (tuhý sigmoid)
• Kroková funkce (konstantní funkce po částech)
• Třístranné srovnání
• Překročení nuly
• Polární rozklad

Poznámky

1. ^ ab „Funkce Signum – Mekkes“. www.maeckes.nl .
2. ^Weisstein, Eric W. „Znamení.“ MathWorld .
3. ^Weisstein, Eric W. „The Heaviside Step Function.“ MathWorld .
4. ^ Burrows, B. L.; Colwell, D. J. (1990). „Fourierova transformace jednotkové krokové funkce.“ International Journal of Mathematical Education in Science and Engineering . 21 (4): 629–635. doi:10.1080/0020739900210418.
5. ↑ Dokumentace Maple V. 21. května 1998.
6. ^ Yu.M. Shirokov (1979). „Algebra jednorozměrných zobecněných funkcí“. Teoretická a matematická fyzika . 39 (3): 471–477. Bibcode: 1979TMP. 39..471S. doi:10.1007/BF01017992. Archivováno z originálu dne 2012-12-08.