Achilles a paradox želvy bez fyziky: Diskusní témata (M) – Strana 2

To znamená, že paradox má tento trik: čas, který je měřen hodinami, je nahrazen „diskrétním“ časem, měřeným přiblížením Achilla a želvy na určité vzdálenosti. Z faktu, že uplynul nekonečný počet těchto „diskrétních“ „sekund“, nevyplývá, že podle „skutečných“ hodin uplynulo nekonečné množství času.

Četl jsem zdánlivě seriózní články, kde se z tohoto paradoxu vyvozuje závěr, že existuje limit pro dělení času.

Přesně tak. Soudě dle vzhledu. V „diskusních sekcích“ našeho fóra vypadají všechna témata velmi vážně, ale většinou pramení z autorovy naprosté neznalosti tématu.

Nevím, nevím. Z téhle Zenónovské aporie mi pořád zůstává jakási nepříjemná dochuť.

Zdá se, že to říká, že fyzikální pohyb nelze chápat určitým způsobem. Účastníci diskuse chtěli ukázat, že jej lze chápat i jinak. Tuto aporii však lze formulovat tak, že dovednost shrnout použitou geometrickou posloupnost čtenáři sotva pomůže.

Carrolle napsal:

CO ŘEKLA ŽELVA ACHILLOVOVI

„Takže naše soutěž skončila?“ zeptala se Želva. „Podařilo se ti urazit celou vzdálenost, i když se skládala z nekonečné řady úseků, a dosáhnout cílové čáry? A abych ti řekl pravdu, myslel jsem si, že nějaký moudrý muž dokázal, že je to nemožné.“

– Proč ne? – namítl Achilles. – Samozřejmě, že může! Co se dá udělat, už se stalo! Solvitur ambulando (rozhodnuto mimochodem). Vidíte, délka úseček se nekonečně zmenšovala, a proto.

„Ale co kdyby se délka segmentů donekonečna zvětšovala?“ přerušila ho Želva. „Co potom?“

„Pak bych neseděl tam, kde jsem,“ odpověděl skromně Achilles, „a ty bys už stihl několikrát objet zeměkouli.“

„Lichotíš mi, to znamená, že se mi mstíš,“ řekla Želva. „Jsem skoro sražená k zemi: vážíš hodně. O tom není pochyb. Dovolíš-li, raději ti povím o závodě na jinou trať. Většina lidí se mylně domnívá, že v tomto závodě jsou jen dva nebo tři kroky od cíle. Ve skutečnosti je k dosažení cílové čáry nutné překonat nekonečný počet etap a každá následující etapa je delší než ta předchozí.“

– S velkým potěšením! – zvolal vášnivě řecký válečník a vytáhl z přilby obrovský zápisník a tužku (v těch dávných dobách mělo kapsy jen málo řeckých válečníků). – Jsem jen naslouchát! A prosím, mluvte pomaleji: koneckonců, těsnopis ještě nebyl vynalezen!

„Ach, první axiom Euklidův!“ řekla Želva zasněně. „Co může být krásnějšího než ty?“ A dodala, obracejíc se k Achillovi: „Líbí se ti Euklidovy Elementy?“

– Šílené! Jen stěží lze obdivovat více pojednání, které nebude vydáno ještě několik století!

— Výborně! Použijeme uvažování obsažené v prvním axiomu. Budeme potřebovat pouze dva kroky a závěry z nich odvozené. Pro usnadnění dalších odkazů budeme označovat úsudky A, B a Z. Zapište si tedy do sešitu následující:

A) Ty, které jsou si rovny, jsou si rovny navzájem.
B) Dvě strany tohoto trojúhelníku jsou stejné.
Z) Dvě strany tohoto trojúhelníku jsou si navzájem rovny.

Doufám, že čtenáři a obdivovatelé Euklida budou souhlasit s tím, že závěr Z logicky vyplývá z premis A a B a že každý, kdo přijímá premisy A a B jako pravdivé, musí přijmout i závěr Z jako pravdivý. Je to tak?

– Jistě! Každý žák základní školy s vaším tvrzením bude souhlasit – samozřejmě ne dříve, než budou vynalezeny školy, a na to si budeme muset počkat nějaké dva tisíce let.

— Ale co když nějaký čtenář neakceptuje předpoklady A a B jako pravdivé? Bude stále schopen akceptovat závěr Z jako pravdivý?

— Nuže, takový čtenář se klidně najde. Bude uvažovat asi takto: „Podmíněnou větu ‚jestliže A a B jsou pravdivé, pak Z je pravdivá‘ považuji za pravdivou, ale věty A a B za pravdivé nepovažuji.“ Takový čtenář by udělal moudře, kdyby opustil Euklida a začal se věnovat fotbalu.

— Ale není tu ještě jeden čtenář, který tvrdí, že uznává pravdivost soudů A a B, ale nepovažuje podmíněný soud za pravdivý?

– Samozřejmě, že může. Také by pro něj bylo nejlepší začít s fotbalem.

„A žádný z těchto čtenářů ještě nesmí z logické nutnosti přijmout závěr Z jako pravdivý?“ pokračovala Želva.

„Ještě ne,“ potvrdil Achilles.

— Pak vás žádám, abyste mě považoval za zástupce druhé kategorie čtenářů a s využitím logických argumentů mě donutil uznat pravdivost závěru Z.

„Želva hraje fotbal…“ začal Achilles, ale želva ho rychle přerušila:

— … by to samozřejmě byla neobvyklá podívaná. Neodbočujme od hlavní věci. Nejdříve pravdivost závěru Z, pak fotbal!

„Takže, pokud vám správně rozumím, je mou povinností donutit vás uznat pravdivost tvrzení Z,“ řekl Achilles zamyšleně. „Postoj, který zaujímáte, se redukuje na následující. Uznáváte pravdivost tvrzení A a B, ale neuznáváte pravdivost podmíněného tvrzení…“

„Bude pro nás pohodlnější mluvit, když označíme podmíněnou větu C,“ navrhla Želva.

„Dobře,“ souhlasil Achilles. „Takže neuznáváš pravdivost úsudku C:“

„Pokud jsou A a B pravdivé, pak musí být pravdivé i Z.“

„To je moje současná pozice,“ potvrdila Želva.

— Pak jsem nucen vás požádat, abyste uznal pravdivost C.

„Udělám to,“ řekla Želva, „jakmile si do sešitu zapíšeš rozsudek C. Máš v něm už nějaké poznámky?“

„Jen pár poznámek,“ odpověděl Achilles a horečně otáčel stránky, „o různých památných událostech… o bitvách, v nichž jsem se vyznamenal.“

„Vidím spoustu prázdných stránek!“ zvolala Želva radostně. „Budeme je všechny potřebovat.“ (Achilles se otřásl hrůzou.) „Prosím, napište:

A) Ty, které jsou si rovny, jsou si rovny navzájem.
B) Dvě strany tohoto trojúhelníku jsou stejné.
C) Pokud jsou A a B pravdivé, pak musí být pravdivá i Z.
Z) Dvě strany tohoto trojúhelníku jsou si navzájem rovny.

„Měl jsi poslední soud označit písmenem D, ne Z,“ řekl Achilles. „Přichází bezprostředně po prvních třech soudech. Pokud považuješ soudy A, B a C za pravdivé, pak ti nezbývá nic jiného, než připustit pravdivost soudu.“

— Proč si myslíte, že musím nutně uznat pravdivost úsudku Z?

— Protože to logicky vyplývá z A, B a C. Pokud jsou A, B a C pravdivé, pak musí být pravdivé i Z. Doufám, že proti tomu nebudete nic namítat?

„Jestliže A, B a C jsou pravdivé, pak Z musí být pravdivé. “ opakovala Želva zamyšleně. „Ale to je nová podmíněná věta! A pokud nejsem přesvědčena o její pravdivosti, pak můžu považovat A, B a C za pravdivé, ale stále neuznávám Z jako pravdivé. Je to tak?“

„To je pravda,“ potvrdil hrdina, „ačkoli musím říct, že taková tvrdohlavost se zdá být velmi zvláštní. Jelikož je však i to možné, jsem nucen vás požádat, abyste uznal pravdivost jiného podmíněného úsudku.“

— S radostí! Ochotně přiznám pravdivost tohoto úsudku, jakmile si ho zapíšete do sešitu. Označme ho D. Takže,

D) „Jestliže A, B a C jsou pravdivé, pak Z musí být pravdivé.“

– Zapsal jsem si to! – zvolal Achilles radostně a jeho tužka rychle přejela po papíře. – Konečně jsme dosáhli cíle naší logické soutěže! Nyní, když jste rozpoznali pravdivost úsudků A, B, C a D, samozřejmě rozpoznáte i pravdivost závěru Z!

„Je to opravdu nutné?“ zeptala se Želva nevinně. „Podívejme se. Připouštím pravdivost úsudků A, B, C a D. Ale co když stále nepřipouštím pravdivost závěru Z?“

– Pak tě Logika chytne pod krkem a donutí tě to udělat! – odpověděl Achilles vítězoslavně. – Logika ti řekne: “Nemáš jinou cestu ven. Poté, co jsi rozpoznal pravdivost úsudků A, B, C a D, musíš rozpoznat pravdivost závěru Z!” – Takže, jak vidíš, jiná cesta ven není.

„Co mi Logika řekla, mělo být zapsáno,“ řekla Želva. „Prosím, zapište si do sešitu podmíněnou větu, kterou označíme E:“

E) „Jestliže jsou A, B, C a D pravdivé, pak musí být pravdivé i Z.“

Dokud neuznám pravdivost úsudku E, nemusím uznat pravdivost úsudku Z, takže úsudek E je pro nás prostě nezbytný. Souhlasíte?

„Souhlasím,“ odpověděl Achilles s náznakem smutku v hlase.

V tomto okamžiku donutily naléhavé záležitosti v bance vypravěče opustit šťastný pár. Jen o několik měsíců později náhodou procházel kolem místa, kde si Achilles a želva povídali. Achilles stále seděl na hřbetě trpělivé želvy a něco si psal do téměř plného sešitu.

Když se vypravěč přiblížil, slyšel Želvu říkat:

— Zapsal jste si poslední podmíněnou větu? Pokud jsem neztratil přehled, měla by to být tisící a první. Zbývá jich ještě několik milionů. Rád bych vás požádal o osobní laskavost. Nevadilo by vám, kdybych vám přečetl několik krátkých básní, které jsem sám složil? Jako polehčující okolnost vás prosím, abyste měl na paměti kontroverzi, kterou náš rozhovor vyvolá mezi logiky 19. století.

„Čtěte, co chcete!“ zvolal nešťastný bojovník zoufale a zakryl si obličej rukama. A Želva recitovala:

Achillova pata
Všechny naznačují něco špatného.
Lebka – ach! – praská myšlenkami:
Achilles má slabou mysl!

Zajímalo by mě, co si o tomto znění myslí účastníci?

Řekl bych, že problém podobný Zenónovu není kladen ve vztahu k fyzickému pohybu, ale k pohybu myšlení nebo něčemu podobnému. Zdá se, že tento pohyb myšlení lze reprezentovat i jiným způsobem, ale s touto jinou reprezentací se nezachová tak důležitá jeho charakteristika, jako je „důkaz“. „Prostor myšlení“ není takříkajíc metrizovatelný vhodným způsobem.

V tomto případě lze za aporii považovat naprosto jakékoli tvrzení. Zenón tedy opět nepřišel s ničím zajímavým.

18.02.2008, 06: 40
Citace:

Jak ukazuje moje osobní zkušenost, Zenónovy paradoxy jsou ideálním testem nezávislého myšlení. Navíc je to právě ten test, ve kterém mohou selhat lidé s těmi nejčestnějšími tituly. Navíc v něm obvykle selhávají ti s technickými diplomy a tituly, kteří Zéna nazývají „sofistou“. Protože „technici“ jsou zvyklí operovat s jasnými definicemi, zavedenou formalizací atd. a Zenónovy paradoxy jsou právě tou epistemologickou noční můrou, která se dostává k jádru věci a zpochybňuje jakoukoli formalizaci a jakékoli pojmy. Vyžadují myšlení, které není zatíženo dogmaty, tj. nezávislé myšlení. Ukazují rozdíl mezi poznáním a rozumem, erudicí a inteligencí.

Zenónovy aporie dodnes nenašly uspokojivé řešení. Navíc moderní publikace, na rozdíl od sovětských, s tím souhlasí: „A[pórie] jsou nyní uznávány jako skutečné paradoxy, spojené zejména s popisem pohybu“ [2]. Jak uvidíte později, všechna takzvaná „řešení“ aporií představují logickou chybu ignorantia elenchi, která spočívá v tom, že teze, která se dokazuje, není ta, kterou je třeba dokazovat.

Jak správně poznamenal William James, kritika Zenónova argumentu, že pokud má nekonečná řada časových intervalů konečný součet, pak Achilles musí želvu předjet, „zcela mine cíl. Zenón by docela snadno připustil, že pokud by želvu vůbec bylo možné předjet, dalo by se to například za dvacet sekund; ale přesto by trval na tom, že by ji vůbec předjet nebylo možné.“[5] Skutečnost, že celý časový interval, který mu byl pro tento čin přidělen, má konečnou míru, ve skutečnosti automaticky neznamená, že tuto posloupnost může skutečně vyčerpat.

Konečně, formulaci aporie lze změnit, aniž by se změnila podstata jejího problému: „Nejrychlejší běžec nebude schopen dohnat nejpomalejšího (i když se nepřestane pohybovat), protože ten, kdo ho dohání, se musí nejprve dostat na místo, odkud se běžec pohnul, aby pomalejší byl vpředu.“

Zároveň výše uvedená úvaha, že součet nekonečného počtu časových intervalů konverguje a dává tak konečný časový interval, se nedotýká jednoho v podstatě paradoxního momentu, a to paradoxu, že určitá nekonečná posloupnost po sobě jdoucích událostí, posloupnost, jejíž dokončení si ani nedokážeme představit (nejen fyzicky, ale alespoň v principu), ve skutečnosti přesto musí být dokončena. Aporie neklade otázku limity a jejího výpočtu, aporie se ptá: jak je možné této limity principiálně dosáhnout?

Podstata problému spočívá v integraci nekonečného počtu částí, zatímco matematická analýza uvažuje o derivování již definované, a tedy aktualizované nekonečnosti: celý přírůstek je již dán a zbývá jej jen rozdělit – a v případě nekonečně malých veličin již ne aktuálně, ale potenciálně! (o tom si povíme později) – na části; zatímco Zenón si klade otázku, jak lze tento celek z takových částí složit (a teprve poté se ho pokusit rozdělit)? Ukazuje se, že samotné řešení je možné až po dokončení procesu, tj. v podstatě je možné až s aktuálním nekonečnem, a to není nic jiného než „řešení“ aporií postulováním přítomnosti řešení. Podle Zenónových obecných argumentů nemůžeme získat ani Δs, ani Δt, a proto se vůbec nemůžeme obrátit k matematické analýze. To znamená, že „řešení“ aporií pomocí matematické analýzy není nic jiného než logická chyba circulus vitiosus.