1.7 Vztah mezi potenciálem a intenzitou elektrického pole
Chcete-li vytvořit spojení mezi silovou charakteristikou elektrického pole – napětí a jeho energetické charakteristiky – potenciálu, uvažujme elementární práci sil elektrického pole na nekonečně malém posunutí bodového náboje q:DA = q E dl, stejná práce je rovna poklesu potenciální energie náboje q:DA= – dW п = — q d 
kde d — změna potenciálu elektrického pole po délce posuvu d l. Porovnáním pravých stran výrazů dostaneme: E dl = – d nebo v kartézském souřadnicovém systému
Ex dx + Ey dy + Ez dz = – d , (1.8)
kde Ex, Ey, Ez — průměty vektoru napětí na osy souřadnicového systému. Protože výraz (1.8) je totální diferenciál, pak pro projekce vektoru intenzity máme
Výraz v závorce je gradient potenciální j, tzn.
E = – grad = – Ñ .
Intenzita v kterémkoli bodě elektrického pole je rovna gradientu potenciálu v tomto bodě, braný s opačným znaménkem. Znaménko minus znamená, že napětí E zaměřené na snižování potenciálu.
Uvažujme elektrické pole vytvořené kladným bodovým nábojem q (obr. 1.6). Potenciál pole v bodě М, jehož poloha je určena vektorem poloměru r, je rovna = q / 4 pe ehm. Směr vektoru poloměru r se shoduje se směrem vektoru napětí Ea potenciální gradient je nasměrován opačným směrem. Projekce gradientu do směru vektoru poloměru
Projekce gradientu potenciálu do směru vektoru t , kolmo k vektoru r, je rovný
tj. v tomto směru je potenciál elektrického pole konstantní hodnotu ( = konst ) .
V uvažovaném případě směr vektoru r shoduje se se směrem
obr. 1.6
elektrické vedení. Shrnutím dosaženého výsledku lze konstatovat, že ve všech bodech křivky ortogonální k elektrickému vedení je potenciál elektrického pole stejný. Geometrickým místem bodů se stejným potenciálem je ekvipotenciální plocha kolmá k siločarám.
Při grafickém znázornění elektrických polí se často používají ekvipotenciální plochy. Obvykle se ekvipotenciály kreslí takovým způsobem, že rozdíl potenciálů mezi libovolnými dvěma ekvipotenciálními plochami je stejný. Na Obr. Obrázek 1.7 ukazuje dvourozměrný obrázek elektrického pole. Siločáry jsou zobrazeny jako plné čáry, ekvipotenciály jako přerušované čáry.
Takový obrázek nám umožňuje říci, kterým směrem je směrován vektor síly elektrického pole; kde je napětí větší, kde je menší; kde se elektrický náboj umístěný v tom či onom bodě pole začne pohybovat. Protože všechny body na ekvipotenciální ploše mají stejný potenciál, přesun náboje podél ní nevyžaduje práci. To znamená, že síla působící na náboj je vždy kolmá na posun.
1) Jaký je vztah mezi napětím a potenciálem. Vytáhni ji a vysvětli.
2) Elektrostatické pole má tvar Е = a i+ b j Kde a и b konstanty. Je pole homogenní? Napište výraz pro potenciál pole.
3) Potenciál nějakého elektrostatického pole má tvar = ( x 2 + y 2 + z 2 ). Co můžete říci o povaze oboru? Najděte modul intenzity pole v bodě se souřadnicemi x ,y,z
4) Jakou práci vykoná pohyb náboje po ekvipotenciální ploše?