Jak definovat gradient?

Gradient pro funkci několika proměnných je vektorová funkce, jejíž složky jsou parciálními derivacemi těchto proměnných. Gradient lze považovat za směr největší rychlosti nárůstu funkce.

Formálně, je-li dána vícerozměrná funkce f s n proměnnými a parciálními derivacemi, gradient f, označovaný ∇f, je vektorovou funkcí,

kde symbol ∇, nazývaný nabla, je parciální derivační operátor. Chcete-li například najít gradient, ∇f(1, 2, 3) pro f(x, y, z) = 4x 2 yz 2 + 2xy 2 — xyz, vezměte parciální derivace x, y a z:

Dosazením 1, 2 a 3 za x, y a z získáte:

Vlastnosti gradientu

Nechť y = f(x, y) je funkce, pro kterou platí parciální derivace f_x a f_y existovat.

• Pokud je gradient pro f nulový pro jakýkoli bod v rovině xy, pak je směrová derivace tohoto bodu pro všechny jednotkové vektory také nulová. To znamená, že pokud ∇f(x, y) = 0, pak D_u(x, y) = 0 pro libovolné u.
• Směrová derivace pro libovolný bod v rovině xy má maximální nárůst, když je ve směru jejího gradientu. Jeho maximální hodnota je velikost jeho gradientu. To znamená, že pokud ∇f(x, y) ≠ 0, pak maximum D_u(x, y) je ||∇f(x, y)||.
• Minimální hodnota pro směrovou derivaci v libovolném bodě v rovině xy je -||∇f(x, y)|| ve směru -∇f(x, y).

Geometrická interpretace gradientu pro funkci dvou proměnných

Zvažte následující graf s vektory gradientu označenými červeně. Graf z = f(x, y) je paraboloid otevírající se nahoru podél osy z, jejíž vrchol je v počátku.

Gradientové vektory ∇f(x₁A₁) a ∇f(x₂A₂) nakreslené v rovině xy mají své počáteční body umístěny v (x₁A₁) a (x₂A₂), resp. Všimněte si, že vektory gradientu jsou vypočítány ve formě komponent, ale jsou převedeny do příslušných vstupních bodů v rovině xy, aby lépe ukazovaly směr spojený s těmito body. Pokud bychom mohli složit rovinu xy tak, aby se každý vstup (x, y) mapoval na svou odpovídající výstupní hodnotu (x, y, z) na paraboloidu, pak každý odpovídající gradientový vektor může být také mapován na paraboloid tak, že jeho počáteční bod je v (x, y, z). Přechodové vektory jsou mapovány na (x₁A₁, s₁) a (x₂A₂, s₂) ukazují směr nejrychlejšího nárůstu.

Přechodové vektorové pole

Nalezení gradientu pro každý bod v rovině xy, ve kterém je definována funkce f(x, y), vytvoří sadu gradientových vektorů nazývaných gradientní vektorové pole. Gradientové vektorové pole poskytuje dvourozměrný pohled na směr největšího nárůstu pro trojrozměrný obrazec. Gradientové vektorové pole pro paraboloid uvedený výše je zobrazeno níže:

Rovnice paraboloidu výše je f(x, y) = 0.3x 2 + 0.3y 2 . Rovnice vektorového pole je:

Všimněte si, že vektory se prodlužují, když se vzdalují od počátku, což potvrzuje, že povrch paraboloidu je tím strmější, čím dále se od počátku dostává.

Použití přechodů k nalezení směrových derivací

Směrová derivace funkce z = f(x, y) ve směru jednotkového vektoru, kde parciální derivace f_x a f_y existuje, je:

Pokud je směr dán jako úhel θ ve standardní poloze, pak , a

Najděte směrovou derivaci pro (-2, 2) ve směru .

Protože směr je dán jako úhel, jednotkový vektor je:

Výpočet parciálních derivací:

Směrová derivace je pak:

Hodnotu směrové derivace ve směru jednotkového vektoru u (graficky znázorněnou ve formě složky) si lze představit jako sklon přímky na povrchu křivky f ve směru u at (-2, 2, 4), jak je na obrázku níže vyznačeno červeně:

Existuje mnoho směrových derivací, které lze vypočítat při (-2, 2, 4) pro f v závislosti na požadovaném směru. Směrovou derivaci s největší velikostí lze nalézt pomocí gradientu f.

Také, protože gradient je vektor, můžeme jej použít k určení směrové derivace funkce ve směru nějakého jednotkového vektoru. Z výše uvedené definice směrové derivace je vektor, který je parciální derivací x a y, gradientem f:

Dosazením gradientu do vzorce pro směrovou derivaci se získá:

Najděte směrovou derivaci f(x,y) = x 3 e -y v (3, 2) ve směru .

V tomto příkladu je směr zadán jako vektor, ale ne jako jednotkový vektor. Chcete-li najít jednotkový vektor, vydělte vektor v jeho velikostí:

Poté vypočítáme gradient takto:

D_u(3, 2) = -0.73 lze považovat za sklon přímky na povrchu f at (3, 2, 3.65) ve směru v, jak je znázorněno červeně na obrázku níže:

Přímka s nejstrmějším sklonem na povrchu grafu f at (3, 2, 3.65) leží na gradientovém vektoru w v bodě (3, 2) v rovině xy:

Graf w v rovině xy a jeho průmět na plochu f at (3, 2, 3.65) je znázorněn na obrázku níže:

Také pro funkci z = f(x, y) je velikost gradientu v rovině xy maximální hodnotou směrové derivace v tom bodě, který je ve stejném směru jako její odpovídající gradient.

Velikost gradientového vektoru w je

takže maximální hodnota libovolné směrové derivace pro f at (3, 2, 3.65) je 5.17 a ukazuje stejným směrem jako w.